M 9102. Introduction to Linear Polynomials

अचर :- संख्याओं या अंको से व्यक्त राशि को अचर कहते हैं। अचरों का मान अपरिवर्तनशील होता है। इन्हे हम अंक भी कहते हैं क्योंकि ये अंका के रूप में लिखे जाते हैं। जैसे 1, 2, 3, 7, 25, 100,

Constant: - The quantity represented by numbers is called constant. These are also called Numerals because these are Numbers. It value is fixed i.e. 1, 2, 3, 7, 25, 100, ............

Numeric Value or counting Numbers are called Constant.

चर: अक्षरों से व्यक्त राशि को चर कहते हैं। ये अक्षर अंग्रेजी या रोमन वर्णमाला के हो सकते हैं। इन्हे अक्षर भी कहते हैं क्योंकि ये अक्षरों के रूप में प्रयुक्त होते हैं। चरों का मान परिवर्तनशील होता है। जैसे x, y, z, a, b, c, l, m, n, α, β, γ, θ, λ etc.

Variables: The quantity represented by letters is called variables. These letters may be from Roman or English alphabets. These are also called Literals because variables are letters. Its value is not fixed i.e. x, y, z, a, b, c, l, m, n, a, β, γ, θ, λ etc. 2x, 7z, xy, yz, a

Alphabets of English and Roman are called Variables

पद :- एक बीजगणितीय एस०एन०ए० रूप में लिखा गया कुछ पद कहलाता है। एक चिन्ह वाले मान को पद कहते हैं। जैसे x, y, z, a, b, c, l, m, n, 2x, 7z, xy, yz, abc, x², yz², x²y²z² etc.

Term: - Something written algebraically in single SNA form is called a Term.

It is also called Meal. The value of single sign is known as term i.e. x, y, z, a, b, c, l, m, n, 2x, 7z, xy, yz, abc, x², yz², x²y'z etc.

Standard form of term is SNA form. S– Signs, N – Numbers and A – Alphabetically form.

Note: Term is always connected by the sign of multiplication (invisible dot) with their constituent.

ध्यान देंः पद हमेशा अपने अव्यवों के मध्य गुणा का चिन्ह (अदृश्य डॉट) छिपाए रखता है।

पदों के प्रकार: पद तीन प्रकार के होते हैं। क) अंकीय, ख) अक्षरीय तथा ग) मिश्रित या संयुक्त पद ।

Types of Terms: There are three types of terms. a) Numeric b) Alphabetic and c) Mixed

a) Numeric Term or Constant Term: - The term written in numeric form (Number) is called Numeric Term or Constant Term i.e. 2, 5, 7, 105, 9999 etc.

क) अंकीय पद :- अंकों के रूप में लिखे गए पदों को अंकीय पद कहते हैं। जैसे 2, 5, 7, 105, 9999 etc.

b) Alphabetic Term: The term written in alphabetic form is called Alphabetic Term i.e. a, a, a, a", x², m³, n" etc.

ख) अक्षरीय पद : अक्षरों के रूप में लिखे गए पदों को अक्षरीय पद कहते हैं। जैसे a, a, a, a", x², m³, n" etc.

c) Mixed Term: Alphabets The term written with the help of Number and is known as mixed term i.e. 2x, 5x², ab, xyz, xy²etc. mixed term i.e.

ग) मिश्रित या संयुक्त पद : अंको व अक्षरों से संयुक्त रूप से लिखे गए पदों को संयुक्त या मिश्रित पद कहते हैं। जैसे 2x, 5x², ab, xyz, xy²etc.

(01) निम्न में से प्रत्येक बहुपद में आए पदों को वार्णिक, आंकिक तथा मिश्र पदों में विभक्त करो।

Write the number of the terms in the form of Alphabetic, Numeric and mixed term from the each of the polynomials.

01. x³ + 8

02. x² – 30x + 9

03. x² + x

04. 5x² – 4xy –9

05. x – x²

06. 2 – x² + 7mn

07. 25x² – 30x + 9

08. 3x

09. 3x – 6

10. √3x – 1

11. 2 y²

12. 1 + x

13 x ² – x – 12

14. 2 + x ² + ab

15. x + 3

Sol.: -

01. In x³ + 8y + 5, x³ is Alphabatic term, 8y is mixed term and 5 is numeric term.

x³ + 8y + 5 में x³ वार्णिक, 8y मिक्स तथा 5 आंकिक पद है।

चरों के आधार पर पदों के प्रकार : चरों की प्रकृति के आधार पर पद दो प्रकार के होते हैं। समान पद तथा असमान पद ।

Types of the terms on the bases of variables: - There are two types of temrs on the bases of variables. Like terms and Unlike tems.

समान पद :- वे पद जिनके समान अक्षरीय गुणनखण्ड होते हैं। समान पद कहलाते हैं। जैसे abc, cab व acb समान पद हैं।

Like Terms: The terms which have same literal factors is called Like terms i.e. ab and ba are like terms. abc, cab and acb are like tems.

abc, cab and acb are not written according to SNA form if we use it then all three terms will be abc

असमान पद : वे पद जिनके अक्षरीय गुणनखण्ड समान नहीं होते असमान पद कहलाते हैं। जैसे

Unlike Terms: The terms which have not same literal factors is called Unlike terms i.e.

02. Find like terms from the following: (निम्न में से को समानपदी हैं।)

01. 7x, 14x, -13x, 5x², 7y, 7xy, -9y², -9x², -5yx

02. - ху, 7 yx², 6 x 22, 18 zx, 3x²

03. -5yx, 2xy², 6x²y², -9 x²²

04. -xy, 4yx, 8x, 2xy², 7y,

05. 11x², 100x, 11yx, 20x²y,

06. 6x y, 2xy, 3x

07. 10pq, 7p, 8q, pq, -5p², 41, 2405p, 78qp, 2 7qp, 100g, 23, 12qp, 13p²q, qp², 701p²

08. 10pq, 7p, -7qp, -100q-5p², 41, 2405p, qp², 701p²

Sol.

01. 7x, 14x, –13x are like terms.and 5x² and -9x² are like terms 2

व्यंजक :- पदों के समूह को जो गणित की आधार भूत चिन्हों के द्वारा संबंद्ध रहते हैं व्यंजक कहलाते हैं। अतः एक या उससे अधिक पदों के संयोग से व्यंजक बनता है। यह कई प्रकार का हो सकता है। जैसे एकपदीय, द्विपदीय, त्रिपदीय तथा बहुपदीय।

Expression: - Group of term connected by the sign of fundamental operations (addition, subtraction, multiplication or division) is known as Expression.

The Expression is formed by adding or subtracting one or more terms. These are of many types like monomials, binomials, trinomials and polynomials.

पदों की संख्या के आधार पर व्यंजकों के प्रकार :- पदों की संख्या के आधार पर पद चार प्रकार के होते हैं।

Types of expression on the basses of Number of terms: There are mainly four types of expressions on the bases of the Numbers of Terms.

एकपदीय :- वह व्यंजक जिसमे केवल एक पद (या एक चिन्ह) होता है। एक पदीय व्यंजक कहलाता है। जैसे x, y, z, xyz, abc, 2x, 7z, xy, yz, abc, x², yz², x²y²z² etc.

Monomials: The Expression that contains only one term (or one sign) is called monomials i.e. x, y, z, xyz, abc, 2x, 7z, xy, yz, abc, x², yz², x²yz² etc.

द्विपदीय :- वह व्यंजक जिसमे केवल दो पद (या दो चिन्ह) होते हैं। द्विपदीय व्यंजक कहलाता है। जैसे x + y, za, 2x + xyz, a + b²c, 2+x, z–2, xy + yz, abc + a²bc, x² + yz², x²+y² etc.

Binomials: The Expression that contains only two term (or two signs) is called binomials i.e. x + y, za, 2x + xyz, a + b²c, 2+x, z –2, xy + yz, abc + a²bc, x² + yz², x²+y² etc.

त्रिपदीय : वह व्यंजक जिसमे केवल तीन पद (या तीन चिन्ह) होते हैं। त्रिपदीय व्यंजक कहलाता है। जैसे x + y +2, z–a+b, 2x + xy + z, a+b+c, a+2+x, z–2–y, xy + yz–zx, abc + a²bc+bc, x² + y + z², x²+y² + z² etc.

Trinomials: - The Expression that contains only three term (or three signs) is called trinomials i.e. x + y +2, z–a+b, 2x + xy + z, a+b+c, a+2+x, z–2–y, xy + yz–zx, abc + a²bc+bc, x² + y + z², x²+y² + z² etc

बहुपद :- तीन या उससे अधिक पदों (अथवा तीन या अधिक चिन्हों) वाला व्यंजक, जिसके गुणज शून्येत्तर (शून्य न हों) तथा घातें ऋणेत्तर (ऋण न हों) बहुपद कहलाता है। जैसे x + y +2, z–a+b, 2x + xy + z, a + b² + c, a+2+x, z–2–y, xy + yz–zx, abc + a²bc+ bc, x² + y + z², x²+y² + z² etc.

Polynomials: - The Expression containing one or more terms (or with three or more sign) with non zeros coefficient and with non negative exponent is known as polynomials i.e. x + y +2, z–a+b, 2x + xy + z, a + b² + c, a+2+x, z–2–y, xy + yz–zx, abc + a²bc+ bc, x² + y + z², x²+y² + z² etc.

बहुपद की घात :- किसी बहुपद की उच्चतम धात को बहुपद की घात कहते हैं। 4x + 2 की घात एक तथा 7m⁷ + ¾ m⁴ – 4x + 2 की घात सात है।

Power of Polynomials: - Highest power of the polynomials is called the power of the polynomials. The power of 4x+2 is one and 7m⁷ + ¾ m⁴ – 4x + 2 is seven.

(03) निम्न में से प्रत्येक बहुपद की धात ज्ञात करो।

Write the degree of each of the following polynomials:

01. 25x² – 30x + 9

02. √2x – 1

03. x¹⁰ + y³ + z⁵⁰

04. x⁵ – x³ + 3

05. x⁶ – y⁶

06. 2 – y² – y³ + y⁸

07. x⁸ – 256

08. 2 + x² + x

09. x³ + x ² * y + x y ² + y³

10. π/2 x² + x

11. x² – x – 12

12. –35x

13. 5x³ + 4x² + 7x

14. 4 – y

15. 4t – √3

बहुपद की घात :- किसी बहुपद की उच्चतम धात को बहुपद की घात कहते हैं।

Power of Polynomials: - Highest power of the polynomials is called the power of the polynomials.

Sol.

01. 25x² – 30x + 9 की घात दो है।

01. The power of 25x² – 30x + 9 is two.

03. x¹⁰ + y³ + z⁵⁰ की घात पचास है।

03. x¹⁰ + y³ + z⁵⁰ is fifty.

गुणांक :- किसी बीजीय राशि के साथ जुडी संख्या को उस राशि का गुणांक कहते हैं। यह धनात्मक तथा ऋणात्मक हो सकता है। धन को बिन चिन्ह के तथा ऋणात्मक को ऋण चिन्ह के साथ लिखते हैं। समी० x³ – 3x² – 9x + 5 में x³ में x³ का गुणांक का गुणांक 1 तथा 3x² में, x² का गुणांक 3 है। 9x में, x का गुणांक –9 है, और अचरपद 5 है।

Coefficients: The numerical factor of the term is called the coefficient. It may be positive or negative. Positive is written without sign and negative written with negative sign. In the equation x³ – 3x² – 9x + 5 the coefficient of x³ is one and coefficient of x² is 3 and coefficient of x is –9. Hire + 5 is constant.

(04) निम्न में से प्रत्येक में x तथा x² का गुणांक ज्ञात करो।

Write the coefficients of x and x² in each of the followings:

1. x¹⁰ + y³ + x²

2. x² – 30x + 9

3. x³ + 8

4. 5x² – 4x – 9

5. 25x² – 30x + 9

6. π/ 2 x² + x

7. x⁶ – y⁶

8. √2 x –1

9. x⁸ – 256

10. 2 – y² – y³ + y⁸

11. x³ + x² y + x y² + y³

12. 2 – x² + x³

13 x² – x – 12

14. 2y²

15. 2 + x² + x

गुणांक :- किसी बीजीय राशि के साथ जुडी संख्या को उस राशि का गुणांक कहते हैं।

Coefficient: The connecting digits (Numerical value) with the variable are called the coefficient of the variables.

हल :-

01. समी० x¹⁰ + y³ + x² में , x² का गुणांक 1 तथा x का गुणांक 0 है।

In the equation x¹⁰ + y³ + x² the coefficient of the x² is one and coefficient of x is 0.

02. समी० 25x² – 30x + 9 में , x² का गुणांक 25 तथा x का गुणांक –30 है।

In the equation 25x² – 30x + 9 the coefficient of the x² is 25 and coefficient of x is –30.

समीकरण (व्यंजक) का मानक रूप :- किसी समीकरण को उसकी घातों के घटते क्रम में रखने पर प्राप्त रूप को मानक रूप कहते हैं। इस सूत्र में भी बहुपद मानक रूप में लिख हुआ है

देखिए ax² + bx + c या ax² + bx¹ + cx⁰ बहुपद या समीकरण x³ – 3x² – 9x – 5 मानक रूप में लिखा है।

Standard form of Equation (Polynomial): - Writing of any equation in the order of decreasing powers is known as standard form of equation. It can be written in the form of ax² + bx + c or ax² + bx¹ + cx⁰. The polynomial x³ – 3x² – 9x – 5 is in the standard form.

To wtite the standard form expression or polynomial in standard form write the ter m in decreasing order of power.

व्यंजक को मानक रूप में लिखने के व्यंजक के पदों को घातों के घटते क्रम में लिखते हैं।

(05) निम्न में से प्रत्येक व्यंजक को मानक रूप में लिखो। Write the Following Expression in standard form.

1. x¹⁰ + y³ + x²

2. –30x⁵ + x² – 30x + 9

3. x³ + 8

4. 5x² – 4x – 9

5. 25x² – 30x + 9

6. π/ 2 x² + x

7. x⁶ – y⁶

8. √2 x –1

9. x⁸ – 256

10. 2 – y² – y³ + y⁸

11. x³ + x² y + x y² + y³

12. 2 – x² + x³

13 x² – x – 12

14. 2y²

15. 2 + x² + x

Sol 1. x ¹⁰ + y³ + x²

Sol. 3. –30x⁵ + x² – 30x + 9

बहुपद :- वह व्यंजक जिसके गुणज शून्येत्तर (शून्य न हों) तथा घांतें ऋणेत्तर (ऋण न हों) बहुपद कहलाता है। जैसे x + y + 2 z – a + b, 2x + xy+z, a+b²+c, a+2+x, z-2-y, xy + yz-zx, abc + a²bc+bc, x² + y + z², x²+y² + z² etc. किसी बहुपद का सर्वसामान्य रूप है। a_{0} + a_{1} * x ^ 1 + a_{2} * x ^ 2 +..........+a n x^ n

Polynomials: - The Expression containing one or more terms with non zeros coefficient with non negative exponent is known as polynomials i.e. x + y + 2 zab, 2x + xy + z, a + b² + c a + 22 +x, z-2-y, xy + yzzx, abc + a²bc+ bc, x ^ 2 + y + z ^ 2, x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 * et The general form of a polynomial in one variable is a_{0} + a_{1} * x ^ 1 + a_{2} * x ^ 2 +.........+a n x^ n

(06) State which of the following are monomials, binomials, trinomials and polynomials:

निम्न में से एक पदीय, द्विपदीय त्रिपदीयए बहुपदीय व्यंजकों को छांटोः

1. 4x-3y

2. 7xyz

3. x² + 2x + 7

4. – z + 5

5. 7

6. a+b

7. x + 3

8. 41+5m

9. 4p²q –4q²p + r + 5

10. a + 4

11. 2y – 5,

12. 5 – 3xy

13. 3x²,

14. 22 – 4y²

15. 4xy +7,

16. 4x²

17. x,

18. 3xy – y² + x² – y + x

19. x – 4,

20. –7z

21. 2 + 1

22. 5xy

23. 3x – 2,

24. 10y – 9

25. 17,

26. 82a + b + c

27. 2x + 3y + 7z + 7

28. 2x+3y –5

29. x + y + z + 2

30. x²y – xy² + y² – y² + x²

Solution

1. 4x –3y

It has two terms so that it is Binomial

2. 7xyz

It has one terms so that it is Monomial

3. x² + 2x + 7

It has three terms so that it is Trinomial

घातों की संख्या के आधार पर व्यंजकों के प्रकार :– घातों की संख्या के आधार पर व्यंजक चार प्रकार के होते हैं।

Types of expression on the bases of Power (Degree): There are main four types of expressions on the bases of the Numbers of the base of Power of Expression.

रैखिक बहुपद :- वह बहुपद जिनकी सबसे बड़ी घात एक हो, उस बहुपद को रैखिक बहुपद कहते हैं। यदि इसमें एक चर है तो एक चर वाला रैखिक बहुपद (ax + b, 4x + 2, m + 5) तथा दो चर है तो इसे दो चर वाला रैखिक बहुपद (ax + b, 4x + 2, m + 5) कहते हैं। जैसे

Linear Polynomials: Polynomial with power one is called the linear polynomials. If it has one variable then it is called the linear polynomials of one variable (ax + b, 4x + 2, m + 5) and if it has two variables then it is called the linear polynomials of two variables and SO on.

(ax + by + c, 2x + 3y + 4), 4x + 2 , √5x + 5 , x –¾ , ¾m + 1

रैखिक बहुपद : घात 1 वाले बहुपद को रैखिक बहुपद कहते हैं। जैसे

Linear Polynomial:- A polynomial of degree 1 is called a linear polynomial. As

द्विघात बहुपदः वह बहुपद जिनकी सबसे बड़ी

घात दो हो, उसे बहुपद को द्विघात बहुपद कहते हैं। जैसे x² – 4x – 12, x² + 2x + 3, x² + √5x + 5

Quadratic Polynomials: The polynomials which have highest power two is called the quadratic polynomials. x ² – 4x – 12, x² + 2x + 3, x² + √5x + 5

द्विघात बहुपद का लिखना :- कोई भी द्विधात बहुपद को ax² + bx + c के रूप में लिखा जाता है। जहाँ, a को x² का गुणांक, b का x का गुणांक तथा c को अचरपद कहते हैं।

नोट:- ध्यान रहें कि a, b, c संख्यात्मक होते है। चर को ध्यान में रखकर हम बहुपद को निम्न प्रकार से लिख सकते हैं :

चर X वाले बहुपद P(x) = x² + 2x – 3

चर m वाले बहुपद P(m) = m ³ + 2m – 3

चर p वाले बहुपद P(p) = p² + 2p – 3

चर 2 वाले बहुपद P(z) = z² + 2z – 3

चर वाले बहुपद P(y) = y ² + 2y – 3

Writing of Quadratic Polynomial: Any polynomials can be written in the form of ax² + bx + c where 'a' is the coefficient of x² and 'b' is the coefficient of x and 'c' is constant term.

Polinomial of variable x is P(x) = x² + 2x – 3

Polinomial of variable m is P(m) = m ² + 2m – 3

Polinomial of variable p is P(p) = p² + 2p – 3

Polinomial of variable z is P(x) = z² + 2z – 3

Polinomial of variable y is P(y) = y² + 2y – 3

Note: a, b and c are written in numerical value.

त्रिघात बहुपद :- वह बहुपद जिनकी सबसे बड़ी घात तीन हो उस बहुपद को त्रिघात बहुपद कहते हैं। x³ – 3x² – 9x – 5, x³ + 12x² + 32x + 20, x³ – 2x² – x + 2

Cubical Polynomials: The polynomials which have highest power three is called the cubical polynomials.

x³ – 3x² – 9x – 5, x³ + 12x² + 32x + 20, x³ – 2x² – x + 2

चतुर्थघातीय बहुपद :- घात चार वाले बहुपद को चतुर्थघातीय बहुपद कहते हैं।

2x⁴ – x³ – 2x² – x + 2; 2x⁴ + x³ + 12x² + 32x + 20; 5x⁴ + x³ – 3x² – 9x – 5

Biquadrate Polynomials: - The polynomials which have highest power four is called the biquadrate polynomials.

2x⁴ – x³ – 2x² – x + 2; 2x⁴ + x³ + 12x² + 32x + 20; 5x⁴ + x³ – 3x² – 9x – 5

आंकिक बहुपद :- जब किसी बहुपद में केवल एक ही पद वह भी अंक हो तो इस प्रकार के बहुपद को हम आंकिक बहुपद कहते हैं। 2, 5, 7, आदि आंकिक बहुपद के उदाहरण हैं।

Constant polynomials: - If there is only one constant in the polynomial then it is called constant polynomial. 2, 5, 7, etc. are examples of constant polynomials.

शून्य बहुपद :- यदि किसी बहुपद में उसके गुणांक शून्य हों तो उस बहुपद को शून्य बहुपद कहते हैं। (a₀ = a₁ = a₂ = 0)

Zero polynomial: - If all the constant a₀ = a₁ = a₂ = 0) of polynomial is,

Zero then constant polynomial 0 is called the zero polynomial.

(07) निम्न में से प्रत्येक बहुपद को रेखिक, द्विघातीय बहुपद, त्रिघात बहुपद, आंकिक तथा शून्य बहूपदों में विभक्त करो।

Classify the following as linear, quadratic, cubic, constant or zero polynomials.

1. x ^ 3 + 8

2. x ^ 2 – 30x + 9

3. x ^ 2 + x

4. 5x ^ 2 – 4x – 9

5. x-x³

6. 2 – x ^ 2 + x

7. 25x ^ 2 – 30x + 9

8. 3x

9. 1 + x

10. √2 x – 1

11. 3x –6

12. x + 3

13. x ^ 2 - x - 12

14. 2 y²

15. 2 + x ^ 2 + x

16-7y

17. 7

18. 0

19. –11

20. 0 m²

21. y + y ^ 2 + 4

22. 3t

23. 7²

24. 7³

Sol. Do yourself by looking the highest power if power is one then it is linear polynomials, if power is two then it is quadratic polynomials and if power is three then it is cubic polynomials. If there is only number than it is constang polynomial and it there is 0 then is zero polynomial.

आप स्वयं करें क्योंकि घात 1 वाले बहुपद को रैखिक बहुपद कहते हैं। घात 2 वाले बहुपद को द्विघात बहुपद कहते हैं। घात 3 वाले बहुपद को त्रिघात बहुपद कहते हैं। घात 0 वाले बहुपद को आंकिक बहुपद कहते हैं। शून्य मान वाले बहुपद को शून्य बहुपद कहते हैं।

(08) निम्न में से कौन एकचर में बहुपद है और कौन नहीं।

Write which of the following are polynomials of one variable and which are not.

x ^ 2 - 30x + 9

x ^ 10 + y ^ 3 + z ^ 30

5x ^ 2 - 4x - 9

π/2 x + x

-7y

2 - y ^ 2 - y ^ 3 + y ^ 8

x + 3

x ^ 3 + x ^ 2 * y + x * y ^ 2 + y ^ 3

13 x ^ 2 - x - 12

2y²

16 4x ^ 2 - 3x + 7

y ^ 2 + sqrt(2)

x ^ 10 + y ^ 3 + t ^ 50

हलः- वह बहुपद जिसमें केवल एक ही प्रकार के चर हो एक चर में बहुपद कहलाता है।

01. z ^ 2 - 2z - 8 एक चर में बहुपद है क्योकि इसमें केवल एक ही चर 'z' है।

In this polynomial there is, only one variable 'z' so it is polynomial of one variable 'z'.

The degree of a non-zero constant polynomial is zero.

बहुपद का शून्य या शून्यक या गुणनखंड या हल : वे मान जो समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर उसे शून्य में बदल देते हैं। बहुपद के शून्य, शून्यक, गुणनखंड या हल कहलाते हैं। घ्यान रहे कि किसी बहुपद की घात के बराबर उसके हल या शून्य हो सकते हैं।

Zeros or root or solution of polynomials: A value of the variable which makes the polynomial zero is called the zero, root or solution of the polynomials.

(09) Multiply OR Find the Product of the following (निम्न के गुणा करो।

01 a (x + b)

x (x + b)

3(x + 2)

3x(x + 2)

4x(x + x * y + x ^ 2)

4xy(x + xy + x ^ 2)

4xy(x + 3y + 7z)

5xy(2x + 5y + 2z)

(x + a) (x+b)

(x+m) (x + n)

(x + 3)(x + 2)

(x + 5)(x + 5)

(x - 3)(x + 2)

(x - 3)(x + 3)

(x + 2)(2x ^ 2 + 7x + 3)

(x + 7)(2x ^ 2 + 7x + 3)

(6u ^ 2 + 17u + 12)(3u ^ 2 - 10u + 8)

विनजीत पब्लिशर्स एण्ड प्रिंटर्स

Ph. 9-958-858-758

(2x ^ 2 + 5x + 3)(2x ^ 2 + 7x + 3)

(x + y - z)(x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 - xy + xz + yz)

RAHUL TUITION CENTER Ph. 9350250153 (M 90001)

Solution

01 a(x+b) = ax + bx

4x(x + xy + x ^ 2) = 4x ^ 2 + 4x ^ 2 * y + 4x ^ 3

(x + 3)(x + 2) = x(x + 2) + 3(x + 2)

(x - 3)(5x ^ 2 + 16x + 3) = x(5x² +16x+3)-3(5x² +16x+3)

(x - 3)(5x ^ 2 + 16x + 3)

(x - 5)(5x ^ 2 + 16x + 3)

x ^ 2 + sqrt(2)

3sqrt(t) + t * sqrt(2)

(5x ^ 2 + 16x + 3)(2x ^ 2 + 7x + 3)

sqrt(2) * x - 1

y + 2/y

2x+y-3z) (4x ^ 2 + y ^ 2 + 9z ^ 2 - 2xy + 6xz + 6yz)

CHAPTER SUMMARY

An algebraic expression combines numbers, variables, and operation symbols. For example, 2x² + 5xy - 3y² is an algebraic expression in the variables x and y. 2x², 5xy and3y² are the terms of the algebraic expression, and the numbers 2, 5 and -3 are coefficients of the terms.

Univariate Polynomials are algebraic expressions in one variable. Thus x² + 5x + 3 and 3y³ - 4y² + 5 are univariate polynomials in x and y, respectively. The highest power of the variable in a univariate polynomial is called its degree. Thus, x² + 5x + 3 is of degree 2 while 3y³ - 4y² + 5 is of degree 3.

A polynomial of degree one is called a linear polynomial. Hence, 2x + 3 and 5-4y are linear polynomials in the variables x and y, respectively.

Linear growth refers to a pattern in which a quantity increases by a fixed amount over equal intervals. In contrast, linear decay describes a pattern in which a quantity decreases by a fixed amount over equal intervals.

A linear pattern is a sequence of numbers where the difference between consecutive terms is constant.

A linear relationship between two variables x and y is represented by a straight line y = ax + b. The slope of this line is a. The constant b is called the y-intercept which is the distance from the origin where the line cuts the y-axis. When b = 0 the equation of the line becomes y = ax and the line passes through the origin.

Linear growth is represented by a straight line with positive slope and linear decay is represented by a straight line with negative slope.

Parallel lines are of the form y = ax + b. where the slope a is fi while b, the y-intercept, varies.

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M 9102. Introduction to Linear Polynomials

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